Wilcoxon Rangsummen-Test

Testansatz

Beim Rangsummentest wird eine Stichprobe $A$ einer Vergleichsstichprobe $C$ gegenübergestellt. Es geht darum zu entscheiden, ob die Mediane gleich sind oder in der einen oder anderen Richtung oder überhaupt voneinander abweichen.

Für den Test werden die Werte der Größe nach geordnet. Die Summe der Ränge, die von Werten der Stichprobe $A$ belegt werden, ist die Testgröße.

Wie wahrscheinlich sind die einzelnen Rangsummen? Hierzu betrachtet man alle möglichen Anordnungen, hier beispielsweise für 3 Werte aus $A$ und 4 Werte aus $C$. Eine einzelne Anordnung ist:

(w, w, w, w, w, w, w, w)

wobei w entweder aus $A$ oder aus $C$ ist.

Jede Anordnung ergibt eine Rangsumme. Also beispielsweise

(a, a, a, c, c, c, c, c) = 6
(a, a, c, a, c, c, c, c) = 7
(a, a, c, c, a, c, c, c) = 8
...
(a, c, a, a, c, c, c, c) = 8 
...
(c, c, c, c, c, a, a, a) = 21

Die Nullhypothese besagt, dass der Median gleich ist.

Da die Werte 6 und 7 auf genau eine Art und Weise zustande kommen können, hat der Wert 8 eine doppelt so große Wahrscheinlichkeit wie die Werte 6 und 7. Für die effiziente Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann man weitere Überlegungen anstellen. Die folgende Tabelle zeigt wieviele Kombinationen für die einzelnen Rangsummen existieren. Dazu ist die entsprechende Wahrscheinlichkeit und der Wert der kumulierten Wahrscheinlichkeit angegeben.

Wert	h	p	p kumuliert
6	1	0.0286	0.0286
7	1	0.0286	0.0571
8	2	0.0571	0.1143
9	3	0.0857	0.2
10	4	0.1143	0.3143
11	4	0.1143	0.4286
12	5	0.1429	0.5714
13	4	0.1143	0.6857
14	4	0.1143	0.8
15	3	0.0857	0.8857
16	2	0.0571	0.9429
17	1	0.0286	0.9714
18	1	0.0286	1.0

Bei einer Rangsumme von 8 liegt die kumulierte Wahrscheinlichkeit erstmals über dem Signifikanzniveau von 0,01.

Für große $n$ und $m$ nimmt die Verteilung die Form einer Gauß-Verteilung an.

Tabellen

Die folgenden Tabellen enthalten die Wahrscheinlichkeiten für die Rangsummen für verschiedene Werte von $n$ und $m$ (Spalten p$m$) sowie die kumulierten Wahrscheinlichkeiten (Spalten c$m$).

n	m
2	2 bis 30	CSV
2	2 bis 30	CSV
3	2 bis 30	CSV
4	2 bis 30	CSV
5	2 bis 30	CSV
6	2 bis 30	CSV
7	2 bis 30	CSV
8	2 bis 30	CSV
9	2 bis 30	CSV
10	2 bis 30	CSV
11	2 bis 30	CSV
12	2 bis 30	CSV
13	2 bis 30	CSV
14	2 bis 30	CSV
15	2 bis 30	CSV
16	2 bis 30	CSV
17	2 bis 30	CSV
18	2 bis 30	CSV
19	2 bis 30	CSV
20	2 bis 30	CSV
21	2 bis 30	CSV
22	2 bis 30	CSV
23	2 bis 30	CSV
24	2 bis 30	CSV
25	2 bis 30	CSV
26	2 bis 30	CSV
27	2 bis 30	CSV
28	2 bis 30	CSV
29	2 bis 30	CSV
30	2 bis 30	CSV