Wilcoxon Vorzeichen-Test

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Testansatz

Anhand des Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tests und des Wilcoxon-Rangsummen-Tests lässt sich gut zeigen, wie man mit grundlegenden Überlegungen und relativ einfacher Mathematik zu einem wirkungsvollen Testinstrument gelangen kann.1

Bei einer gegebenen Stichprobe interessiert die Lage des Medians, d.h. des Wertes, der in einer geordneten Liste gerade in der Mitte liegt. Enthält die Stichprobe eine gerade Zahl von Werten ist der Median das arithmetische Mittel der mittleren Werte in der Liste. Für die Anwendung des Wilcoxon-Tests wird vorausgesetzt, dass die Werte unabhängig und identisch verteilt sind. Die Verteilung soll symmetrisch und stetig sein, muss aber nicht bekannt sein.

Die Nullhypothese besagt, dass der Median nicht von einem gegebenen Wert abweicht. Sie ist zu überprüfen gegenüber den Thesen, dass der Median ungleich dem gegebenen Wert ist, oder kleiner oder größer ist als der gegebene Wert.

Für den Test werden die Differenzen zu dem Wert der Nullhypothese gebildet und dem Betrag nach wird ein Rang vergeben. Die Summe der Ränge aller positiven Differenzen ist die Testgröße.

Wie wahrscheinlich sind die einzelnen Rangsummen? Hierzu betrachtet man alle möglichen Anordnungen von positiven und negativen Differenzen, hier beispielsweise für eine Stichprobe von 5 Werten. Eine einzelne Anordnung ist:

(s, s, s, s, s)

wobei s ein Plus + oder ein Minus - sein kann.

Jede Anordnung ergibt eine Rangsumme. Also beispielsweise

(-, -, -, -, -) = 0
(+, -, -, -, -) = 1
(-, +, -, -, -) = 2
(+, +, -, -, -) = 3
(-, -, +, -, -) = 3
...
(+, +, +, +, +) = 15

Da die Werte 0, 1, 2 und 3 nur auf genau eine Art und Weise zustande kommen können, hat der Wert 3 eine doppelt so große Wahrscheinlichkeit wie die Werte 0, 1 und 2. Für die effiziente Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann man weitere Überlegungen anstellen. Die folgende Tabelle zeigt wieviele Kombinationen für die einzelnen Rangsummen existieren. Dazu ist die entsprechende Wahrscheinlichkeit und der Wert der kumulierten Wahrscheinlichkeit angegeben.

Wert h p p kumuliert
0 1 0.03125 0.03125
1 1 0.03125 0.0625
2 1 0.03125 0.09375
3 2 0.0625 0.15625
4 2 0.0625 0.21875
5 3 0.09375 0.3125
6 3 0.09375 0.40625
7 3 0.09375 0.5
8 3 0.09375 0.59375
9 3 0.09375 0.6875
10 3 0.09375 0.78125
11 2 0.0625 0.84375
12 2 0.0625 0.90625
13 1 0.03125 0.9375
14 1 0.03125 0.96875
15 1 0.03125 1.0

Diagramm: Wahrscheinlichkeiten für die Rangsummen für n = 5

Bei einer Rangsumme von 3 liegt die kumulierte Wahrscheinlichkeit erstmals über dem Signifikanzniveau von 0,01.

Beispiel

Ein Bauteil soll eine Normlänge von 5,5 mm haben. Mit zunehmender Produktionsdauer tendieren die Bauteile dazu, länger zu werden. Zur Kontrolle werden 5 Bauteile gemessen. Zum Signifikanzniveau soll überprüft werden, ob der Median der Längen über der Normlänge von 5,5 mm liegt.

Man misst die Werte:

5,47 5,60 5,39 5,51 5,44

Das Ergibt die Differenzen:

-0,03 0,1 -0,11 0,01 -0,06

Und nach Betrag geordnet:

0,01 -0,03 -0,06 0,1 -0,11

Die Rangsumme der positiven Differenzen beträgt 1 + 4 = 5.

Das 0,01 Quantil hat den Wert 3, d.h. die Nullhypothese muss verworfen werden. Der Produktionsprozess ist nachzujustieren.

Für große nimmt die Verteilung die Form einer Gauß-Verteilung an.

Diagramm: Wahrscheinlichkeiten für die Rangsummen für n = 12

Diagramm: Wahrscheinlichkeiten für die Rangsummen für n = 20

Tabellen

Die folgenden Tabellen enthalten die Wahrscheinlichkeiten für die Rangsummen für verschiedene Werte von (Spalten p) sowie die kumulierten Wahrscheinlichkeiten (Spalten c).

CSV für = 1 bis 40: Wilcoxon-Vorzeichentest

n    
2 bis 20 ODS PDF
21 bis 30 ODS PDF
31 bis 40 ODS PDF
  1. Vgl.: Fahrmeier, Künstler, Pigeot und Tutz: Statistik: Der Weg zur Datenanalyse. Springer-Verlag, Berlin 2001, ISBN-3-540-67826-3. 

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